Université de Rennes 1 Autour de l'entropie des difféomorphismes de variétés non compactes On the entropy of diffeomorphisms of non compact manifolds Systèmes dynamiques différentiablesThéorie ergodiqueEntropieExposants de LyapounovGroupes de SchottkyFlot géodésiquePerte de masse Smooth dynamical systemsErgodic theoryEntropyLyapunov exponentsSchottky groupsGeodesic flowEscape of mass Dynamique différentiable Thèses et écrits académiques Thèses et écrits académiques Théorie ergodique Thèses et écrits académiques Entropie Thèses et écrits académiques Flots géodésiques Thèses et écrits académiques Dans ce mémoire, nous étudions l'entropie des systèmes dynamiques différentiables définis sur des variétés riemanniennes non compactes. Dans un premier temps, nous éclaircissons les liens entre différentes notions d'entropie dans ce cadre non compact. Ensuite, nous utilisons ces premiers résultats pour y étudier la validité de l'inégalité de Ruelle. Rappelons ici que cette inégalité, pour des difféomorphismes de variétés riemanniennes compactes, nous dit que l'entropie est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Nous montrons que, lorsque nous enlevons l'hypothèse de compacité, l'inégalité de Ruelle n'est pas toujours satisfaite. Nous obtenons ce résultat en construisant une famille explicite de contre-exemples. En revanche, nous montrons, dans le cas d'un difféomorphisme de comportement asymptotique linéaire, ou du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une variété riemannienne à courbure négative, que l'inégalité de Ruelle est toujours satisfaite. Pour finir, nous nous intéressons au problème de la perte possible de masse d'une suite de mesures de probabilité d'une variété riemannienne non compacte. Dans le cas du flot géodésique, nous montrons que l'entropie permet de contrôler la masse d'une limite vague de mesures de probabilité invariantes par le flot pour une classe particulière de variétés géométriquement finies. Plus précisément, nous montrons qu'une suite de mesures d'entropie assez grande ne peut pas perdre la totalité de sa masse. De plus, le minorant optimal de l'entropie dans ce résultat est lié à la géométrie de la partie non compacte de la variété: c'est l'exposant critique maximal des sous-groupes paraboliques du groupe fondamental. In this work, we study the entropy of smooth dynamical systems defined on non compact Riemannian manifolds. First, we clarify some relations between different notions of entropy in this setting. Second, we use these first results in order to study the validity of Ruelle's inequality. This inequality, for diffeomorphisms defined on compact Riemannian manifolds, says that the measure-theoretic entropy is bounded from above by the sum of the positive Lyapunov exponents. We show that without the compactness assumption, Ruelle's inequality is not always satisfied. We obtain this result by constructing an explicit family of counterexamples. On the other hand, we prove, in the case of diffeomorphisms with linear asymptotic behavior, or that one of the geodesic flow on the unit tangent bundle of a Riemannian manifold with negative curvature, that Ruelle's inequality is always satisfied. Finally, we are interested in the problem of the possible escape of mass of a sequence of probability measures on a non compact Riemannian manifold. In the case of the geodesic flow, we show that the entropy allows to control the mass of a weak$^\ast$-limit of a sequence of probability measures, on the unit tangent bundle of a particular class of geometrically finite manifolds, which are also invariant by the flow. More precisely, we show that a sequence of measures with large enough entropy cannot lose the whole mass. Moreover, the optimal lower bound of the entropy in this result is related to the geometry of the non compact part of the manifold: it is the maximal critical exponent of the parabolic subgroups of the fundamental group. Electronic Thesis or DissertationText fr application/pdf1 : 1374 Kohttps://ecm.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/711c34e6-a305-45fd-ac24-34eb78c677df Riquelme Felipe 1989-03-28 CL 196087066 felipe.riquelme.abarca@gmail.com 2016REN1S021 http://www.theses.fr/2016REN1S021 2016-06-23 Mathématiques et applications Universite de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Doctorat non ouiSchapiraBarbaraintervenant_1077148533 MATISSEecoleDoctorale_1 139007164 Universite Bretagne LoirepartenaireRecherche_1 191639044 IRMAR partenaireRecherche_2 028233107 ddc:510 SchapiraBarbaraUniversite de Rennes 1Sciences et technologie, medecine, pharmacie, odontologie, droit, economie, gestion, philosophieMATISSEÉcole doctorale Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunications (Rennes)Universite Bretagne Loire Communaute des etablissements d enseignement superieur et de recherche (ComuE) IRMAR ASCII PDF 1407342