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| Quantification stochastique d’Anderson et calcul paracontrôlé : EDP stochastiques en environnement singulier (Anderson stochastic quantization and paracontrolled calculus : SPDEs in singular environment.) | ||
Eulry, Hugo - (2024-06-20) / Université de Rennes - Quantification stochastique d’Anderson et calcul paracontrôlé : EDP stochastiques en environnement singulier Langue : Français Directeur de thèse: Bailleul, Ismaël Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Thématique : Mathématiques | ||
Mots-clés : EDPS singulières, calcul paracontrôlé, opérateur d’Anderson, mesures de Gibbs, Équations aux dérivées partielles, Gibbs, Mesures de Résumé : Cette thèse porte sur l’étude d’équations aux dérivées partielles dirigées par un opérateur aléatoire singulier. L’objet central de ce travail est l’opérateur d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc spatial. En utilisant les outils du calcul paracontrôlé et après une procédure de renormalisation, on est à même de définir cet opérateur singulier sur une surface compacte et d’obtenir de bonnes propriétés spectrales, en particulier une compréhension fine de sa fonction de Green est proposée. On peut alors par exemple adapter des méthodes de compacité et de fonctionnelles auto-duales pour étudier l’existence de solutions aux les équations stationnaires dirigées par cet opérateur sur une surface compacte. On s’intéresse également à une version non-locale et quasilinéaire du modèle parabolique d’Anderson sur le tore, en établissant un résultat d’existence locale sous certaines conditions. Une large partie de ce manuscrit est dédiée à la question de la quantification stochastique dans l’environnement singulier régi par l’opérateur d’Anderson. À l’aide de la formule de Boué-Dupuis, on construit une mesure de Gibbs pour l’équation de quantification associée à cet opérateur et on étudie le caractère bien posé de l’équation. On s’intéresse ensuite à une construction dynamique de cette mesure dans le cas de l’équation Φ42 dirigée par l’opérateur d’Anderson, pour obtenir de bonnes propriétés probabilistes sur la solution. Résumé (anglais) : This thesis focuses on studying partial differential equations driven by a singular random operator. The central object of this work is the Anderson operator, namely the Schrödinger operator with spatial white noise as its potential. By employing tools from paracontrolled calculus and through a renormalization procedure, we are able to define this singular operator on a closed surface and obtain good spectral properties. In particular, a detailed understanding of its Green’s function is provided. We can then adapt compactness and convex analysis methods to study the existence of solutions to stationary equations driven by this operator on a closed surface. Additionally, we investigate a non-local and quasilinear version of the parabolic Anderson model on the torus, establishing a result of local existence under certain conditions. A substantial part of this manuscript is devoted to the question of the stochastic quantification in the singular environment governed by the Anderson operator. Using the Boué-Dupuis formula, we construct a Gibbs measure for the quantification equation associated with this operator and investigate the well-posedness of the equation. We then focus on a dynamic construction of this measure in the case of the Φ42 equation driven by the Anderson operator, aiming to obtain nice probabilistic properties of the solution. Identifiant : rennes1-ori-wf-1-19409 | ||
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