| Opérateurs différentiels, schéma des arcs et singularités (Differential operators, arc scheme and singularities) | ||
Le Dréau, Yann - (2025-06-05) / Université de Rennes - Opérateurs différentiels, schéma des arcs et singularités Langue : Français Directeur de thèse: Sebag, Julien Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Thématique : Mathématiques | ||
Mots-clés : Algèbre différentielle, module des parties principales, dérivations de Hasse-Schmidt, différentielles d'ordre supérieur, conjecture de Nakai, Algèbre différentielle, Calcul différentiel Résumé : Le schéma des arcs, introduit par Nash et étudié notamment par Kontsevich, joue un rôle central dans l’analyse des singularités. Dans cette thèse nous étudions les liens entre les opérateurs différentiels sur une variété algébrique affine X et les espaces de jets et d’arcs associés à cette variété. Le premier chapitre présente les dérivations au sens de Nakai, les dérivations de Hasse-Schmidt, ainsi que leurs notions duales : le module des différentielles de Kähler et les espaces de jets/arcs. Le second chapitre introduit une graduation sur l’espace des arcs O(L∞(X))$ et étudie, pour tout entier n ⩾ 0, un morphisme entre le module des différentielles d’ordre n et le module des fonctions de poids n. Nous montrons que ce morphisme est bijectif quand n ⩽ 2, ce qui constitue le résultat principal de cette thèse. Pour n ⩾ 3 nous prouvons que ce morphisme admet localement des rétractions quand X est lisse. Le troisième chapitre applique ce résultat à l’ordre 2, nous établissons un critère de normalité via les fonctions nilpotentes de poids 2, puis nous donnons une nouvelle preuve de la conjecture de Nakai pour les courbes affines planes. Ces résultats apportent un éclairage nouveau sur l’interaction entre opérateurs différentiels et l'étude des singularités. Résumé (anglais) : The arc scheme, introduced by Nash and studied notably by Kontsevich, plays a central role in the analysis of singularities. In this thesis, we study the relationships between differential operators on an affine algebraic variety X and the associated jet and arc spaces. The first chapter presents derivations in the sense of Nakai, Hasse-Schmidt derivations, and their dual notions: the module of Kähler differentials and the spaces of jets and arcs. The second chapter introduces a grading on the arc space O(L∞(X)) and studies, for each integer n ⩾ 0, a morphism between the module of n-th order differentials and the module of weight-n functions. We show that this morphism is bijective for n ⩽ 2, which constitutes the main result of the thesis. For n ⩾ 3, we prove that this morphism admits local retractions when X is smooth. The third chapter applies this result at order 2 : we establish a normality criterion in terms of weight-2 nilpotent functions and provide a new proof of Nakai’s conjecture for plane affine curves. These results offer a new perspective on how differential operators relate to the study of singularities. Identifiant : rennes1-ori-wf-1-20935 | ||
| Exporter au format XML |