| Produits de matrices aléatoires sans hypothèses de moments (Products of random matrices without moment assumptions) | ||
Péneau, Axel - (2024-11-20) / Université de Rennes - Produits de matrices aléatoires sans hypothèses de moments Langue : Français, Anglais Directeur de thèse: Gouëzel, Sébastien Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Thématique : Mathématiques | ||
Mots-clés : Produits de matrices aléatoires, Inégalités de grandes déviations, Loi des grands nombres, Inégalités de concentration, Matrices aléatoires, Loi des grands nombres, Inégalités (mathématiques) Résumé : Dans cette thèse, on s’intéresse à un produits de matrices indépendantes et de même loi. Étant donnée une suite aléatoire de matrices carrées, à coefficients réels, indépendantes et de même loi, on s’intéresse à la suite formée par les produits de gauche à droite des éléments de cette suite. Sous des hypothèses de forte irréductibilité et de proximalité dont on précisera le sens, on construit à l’aide d’un algorithme déterministe une suite aléatoire d’indices, dits temps pivots, qui sépare la suite de base en blocs dont les produits vérifient de bonnes propriétés d’alignement. On entend par là que la norme matricielle du produits de deux blocs consécutifs est minorée par le produit des normes de chaque blocs et d’une constante non aléatoire. Des propriétés de cette construction, que l’on énoncera plus en détail, on déduit une loi des grands nombre et des inégalités de grandes déviations par em dessous pour le premier trou spectral du produit. On montre aussi l’existence d’une mesure invariante sur l’espace projectif sans hypothèse d’inversibilité ainsi que la convergence exponentielle de toutes les classes projectives des colonnes de la matrice produit vers une limite aléatoire. Sous une hypothèse d’inversibilité, on montre une inégalité de concentration pour la classe projective du produit dont on déduit une loi des grands nombres pour les coefficients et pour le rayon spectral sous l’hypothèse optimale de moment d’ordre 1. Résumé (anglais) : The object of this thesis is a product of random matrices. Given a random sequence of square matrices with real entries, independent and identically distributed, we consider the sequence of left-to-right products of said sequence. Under strong irreducibility and proximality assumptions, that we will properly define, we construct, using a deterministic algorithm, a random sequence of indices, that we cal pivotal times and that split our base sequence into blocks whose products satisfy some alignment property. By that, we mean that the norm of the product of two consecutive blocks is bounded bellow by the product of the norms of each blocks times a non-random constant. From this construction, on which we will give more details, we deduce a law of large numbers as well as large deviation inequalities for the first spectral gap of the product. We also exhibit an invariant measure on the projective space without invertibility assumption as well as the exponential convergence of the projective classes of each collumns towards a common random limit. For invertible matrices, we show some time-invariant concentration inequalities for the projective class of the product from which we deduce the law of large numbers for the coefficients and for the spectral radius under the optimal hypothesis of finite moment of order 1. Identifiant : rennes1-ori-wf-1-20157 | ||
| Exporter au format XML |