| Modulated particle methods and high orders (Méthodes particulaires modulées et ordres élevés) | ||
Le Hénaff, Yoann - (2024-06-12) / Université de Rennes Modulated particle methods and high orders Langue : Anglais Directeur de thèse: Faou, Erwan; Crouseilles, Nicolas Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Thématique : Mathématiques | ||
Mots-clés : Vlasov-Poisson, Schrödinger, Slepian, méthodes numériques, équations différentielles partielles, Schrödinger, Équation de, Analyse numérique, Équations aux dérivées partielles Résumé : Dans cette thèse trois grands axes ont été étudiés. Le premier concerne le système de Vlasov-Poisson, pour lequel la convergence d'une méthode particulaire a été démontrée. Cette méthode particulaire fait en quelque sorte le lien entre les méthodes semi-lagrangiennes et celle du type PIC. La simplicité de cette méthode réside dans le fait qu'elle se base sur des briques existantes bien connues. Le second axe étudié traite de l'équation de Schrödinger. En se basant sur des travaux récents de Faou, Merle et Raphaël, un algorithme de modulation est proposé pour la simulation numérique de l'oscillateur harmonique. En utilisant le principe de Dirac-Frenkel, cet algorithme a pu être étendu au cas de l'équation de Schrödinger cubique non linéaire. Enfin, le troisième et dernier axe de cette thèse parle du problème de concentration spectrale, aussi appelé problème de Slepian. Des outils ont été mis en place pour étendre les travaux de Landau, Pollak et Slepian, et des soucis importants d'ordre numérique ont été illustrés. Un algorithme est proposé afin de résoudre approximativement le problème de façon plus robuste qu'une discrétisation directe. Résumé (anglais) : This thesis is made of three distinct parts. The first one concerns the Vlasov-Poisson system, for which the convergence of a particle method has been shown. It makes a sort of link between semi-Lagrangian methods and those of PIC-type. The simplicity of this numerical method lies in the fact that it is composed of well-studied building blocks. The second part is about the Schrödinger equation. Based on recent works by Faou, Merle and Raphaël, a modulation algorithm is proposed for the numerical simulation of the harmonic oscillator. By using the Dirac-Frenkel principle, this algorithm has been extended to the cubic nonlinear Schrödinger equation. Last but not least, the third part of this thesis treats the spectral concentration problem, also known as the Slepian problem. We extended the framework studied by Landau, Pollak and Slepian, and illustrated important numerical issues. An algorithm is proposed in order to solve approximately the problem in a more robust way than a straightforward discretization. Identifiant : rennes1-ori-wf-1-19357 | ||
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